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汪建新:钢琴结构及其振动发声机理分析4-3琴弦的振动 230227

2023-02-25

钢琴结构及其振动发声机理分析4-3琴弦的振动

文/汪建新(内蒙古科技大学机械工程学院)

来源/ 内蒙古科技大学学报

 

 

百花齐放、百家争鸣是学术的基本态度。作为学术平台,霸拓推送(并不代表认同)能引发思索的文章。

 

 

3琴弦的振动

琴弦振动的意义在于给音板提供一个持续的外力激励,使音板产生振动而发声。若把琴弦看做弹性柱体,则在受到脉冲(力或位移)激励后,所有的振型都将被同时激发,振动过程中不只存在横向振动,还存在纵向振动和扭转振动,实际中,琴弦通常被简化成一维模型,且不考虑扭转振动。

从振动学角度来看,单根钢琴弦在演奏时产生的振动类型有两种:强迫振动和自由振动。从弦槌接触琴弦开始到弦槌完全脱离琴弦,这一阶段琴弦做强迫振动,之后,琴弦进人由初始条件引起的自由振动状态(初始条件即为弦槌脱离琴弦时琴弦的状态,包括位移和速度),求解弦振动问题,在数学上已无障碍。

琴弦的振动响应,取决于其振动的初始条件,在强迫振动阶段,弦槌对琴弦产生两种激励:横向位移激励和由于琴弦纵向伸长而与弦槌产生的摩擦力激励。前者在激励横向振动时还激励纵向振动,而后者主要激励弦的纵向振动,实际演奏中,还存在琴弦之间的耦合振动,由于影响较小,一般不予考虑。

 

3.1击弦过程中琴弦的受力分析

如图4所示为击弦过程中琴弦的力学模型。为简单而又说明问题,假设弦长为2a,横截面积为A,弹性模量为E,打击点在弦的中点,琴弦张力为T,不是横向位移h的函数,忽略弦的质量。

根据材料力学,琴弦横向位移方时,张力T为: T=EA(b-a)/a,而斜边长b符合:b2 +h2 ,sinα:h/b;任意位置时,打击力F、张力T构成平衡力系,满足:F = 2T sinα。将a,T,h代入后得:

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设弦槌动能为W,则

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由此可求得打击点处琴弦的最大位移H 。进一步可得琴弦张力随横向位移h的变化规律为:

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实际中,琴弦的响应不仅与h有关,还与h(到达H)所用的时间有关。要得到T(t),需解出H(t)。为此,可建立弦槌的振动方程(有阻尼非线性摆动振动方程),解出打击点处横向位移随时间的变化规律,即H(t)。具体过程比较繁琐,不在此详述。为说明问题,本文假设H(t)t的线性函数,由此可得T(t)随时间的变化规律,如图5所示,对琴弦来说,T(t)可认为是一个时间脉冲函数,其单边频谱如图6所示,ω为频率轴。作用时间越短,能量在频率轴上分布得就越宽;作用时间越长,能量分布得就越窄。

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图4  击弦过程琴弦的力学模型

Fig. 4  The mechanical model of piano strings during striking process

 

 

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图5  击弦阶段张力随时间的变化规律

Fig. 5   The curve of piano strung tension variation with time in hammer stage

 

 

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图6  琴弦张力脉冲的频谱

Fig. 6   Spectrum distribution of piano string tension pulse

 

 

3.2琴弦的横向振动

琴弦的横向振动,是振动位移方向与弦的长度方向相垂直的振动。横振动是弦振动类型中的主导类型,弦乐器的工作过程主要是借助这种振动来完成,其基本声学特征也都主要取决于弦在横向振动中所具有的特性,所以,这种振动类型是所有弦乐器赖以工作的基础,是希望存在并应予以加强的一种振动类型。如图7所示为琴弦前四阶横向振动的主振型,实际中以一阶振动为主。

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图7  琴弦前四阶横向振动主振型

Fig. 7   The previous four main transversal vibration modes Of piano strings

 

 

3.3琴弦的纵向振动

琴弦的纵向振动,是琴弦横截面在轴线方向上的位移振动。该振动会在琴弦内部产生应力纵波,产生的力将通过码桥传到音板上,对音板振动产生影响。纵向振动是不希望的,是因激发手段所造成的、而又无法避免的附带结果。

(1)伸缩引起的纵振动。琴弦可认为是1根弹簧,工作时已施加较大预紧力。在横向振动中由于自身的惯性力和弹性力作用会伸长和缩短,每1截面都在其平衡位置附近做纵向振动。在横振动的1个周期内这种振动完成了2次,所以,这种纵振动的频率等于琴弦横振动基频的2倍。这种纵振动是一种诱发性的振动,它因横振动的产生而产生,也因横振动的存在而存在,直至发音终了。由于这种纵振动的频率能与琴弦的基频严格地保持谐频关系,它的存在将有助于钢琴音色的改善,所以,它是一种受欢迎的振动。

(2)摩擦引起的纵振动。弦槌击弦时要与琴弦发生摩擦。当弦槌在击弦点使琴弦产生横向位移时,琴弦会伸长,在弦槌与琴弦的接触区域,二者会出现相对滑动,于是琴弦受到干摩擦力的激励,方向与琴弦轴线平行。该摩擦力同样可以使弦的质点产生纵向位移,产生纵振动。但摩擦造成弦纵振动的机理及所形成的纵振动与伸缩引起的纵振动有所不同,伸缩使琴弦质点产生纵向位移是由于牵引,在此情况下振动的频率和质点位移的大小都取决于横振动的特性,振动是完全从属的;而摩擦使琴弦质点产生位移所凭借的是“粘着”。当弦槌触弦后,二者之间即出现相对滑动趋势,保持相对静止,此时摩擦角随横向位移的增加不断增大,当摩擦角超过最大摩擦角时,突然滑脱,直到在新的位置上重新保持相对静止,然后进人下一个“粘着——滑脱”的运动周期[ 3 ] 。由此产生的摩擦力随时间的变化规律呈锯齿形,“粘着”阶段较缓,滑脱阶段较陡[ 4 ]

当弦槌离开琴弦后,琴弦便进人自由振动状态,作阻尼衰减周期振动。因摩擦所造成的纵振动是独立于横振动之外的振动,其振动的频率和质点位移的大小都与琴弦横振动的特性无关,而只取决于弦与槌之间的摩擦特性。由于这种纵振动的振动状态和频率具有很大的随机性,因此,其频率与琴弦基频能构成谐和关系的几率甚微。换言之,在多数情况下都是基音的不谐和音,所以,这是一种不受欢迎的振动。

 

 

参考文献:

[ 3 ]田泽林,钢琴的声学原理[ J ].演艺设备与科技,2006,6:56-60.

[ 4 ]贾  雄,小提琴弦振动与琴体控谐振研究[ D ]. 广州:华南理工大学硕主论文,2013.